这两天在看华罗庚老先生那本《高等数学引论》时发现了利用De Moivre定理求倍角公式的方法，而且此推导方法直接以n倍角进行分析。

在推导前首先要了解下De Moivre定理

一般的，可以用a+bi来表示一个复数，而在一个复平面上，复数a+bi可以表示为向量p=(a,b)

这是在直角坐标系下得到的，类似的，我们可以将这个向量表示在极坐标系下。

我们令

a=ρcosθ，b=ρsinθ，ρ>=0，且θ(- [0,2π)

那么复数a+bi在极坐标下可以表示为

ρ(cosθ+isinθ)，ρ>=0，且θ(- [0,2π)

De Moivre定理表述如下：

对任一整数n，都有

(ρ(cosθ+isinθ))ⁿ = ρⁿ(cosnθ+isinnθ)

此定理的证明可以通过数学归纳法得到：

当n为自然数时，直接使用数学归纳法。当n为负数时，利用

(cosθ+isinθ)^-1 = (cos(-θ)+isin(-θ))

转化后利用数学归纳法证明。上面的等式可以通过复数除法得到。

现在介绍如何利用De Moivre定理推导n倍角公式。

我们对对定理左边的式子二项式适当展开，如下

PS：由于编辑公式时的疏忽，导致sinnθ推导最后一步-1的幂次存在错误。当n为偶数时，幂次是(n-2)/2，当n为奇数时，幂次是(n-1)/2

由于复数的运算是封闭的，所以运算两边实部和虚部的数对应相等，由此可以得到推导的结果

注意：由于公式图片比较大，如果部分被遮住，请利用页面上方的<>按钮对页面进行调整